圆弧圆柱蜗杆的齿廓测量与参数反求
摘 要：基于圆弧圆柱蜗杆（zc）的齿廓方程，讨论了这种曲纹面蜗杆的齿廓测量原理和误差计算数学模型。介绍了反求zc1蜗杆参数时涉及到的齿廓测量与数据分析方法。给出了在hcm320柱坐标测量机上zc1蜗杆齿廓的实测结果。
关键词：圆弧圆柱蜗杆 齿廓测量 参数反求profile measurement ＆ reverse solution of parameters of zc worm
shi zhaoyao et al
abstract： based on the profile equation，the principle and model of measuring the profile of zc1 worms is discussed．the methods of measuring the profile of zc1 worms and reverse calculating worm parameters are presented．the result of measuring the profile of a zc1 worm by a cylindrical coordinate measuring machine is given．
keywords： zc worm profile measurement reverse solution of parameter
1．引 言
按gb10086-88规定，圆弧圆柱蜗杆（zc）有三种形式：圆环面包络圆柱蜗杆（zc1）、圆环面圆柱蜗杆（zc2）和轴向圆弧齿圆柱蜗杆（zc3）。本文主要介绍zc1蜗杆的测量及相关问题，zc2和zc3蜗杆的测量与zc1蜗杆类同。
zc1蜗杆是一种磨削型曲纹面蜗杆，其齿面形状取决于加工砂轮的几何参数与安装位置。在砂轮的轴平面内，产形线是圆环面母圆的一段凸圆弧；磨削时，砂轮轴线相对于蜗杆轴线偏转一个蜗杆导程角γ，砂轮的轴截面齿形角与蜗杆的法面齿形角相等，如图1所示。其安装参数为
式中 ρ——砂轮轴截面齿廓圆弧半径
r——蜗杆分度圆半径
an——蜗杆分度圆的法向齿形角
a——砂轮齿廓圆弧中心到蜗杆轴线与砂轮轴线的公垂线的距离
b——砂轮齿廓圆弧中心到蜗杆轴线的距离
d——砂轮齿廓圆弧中心到砂轮轴线的距离
a——砂轮轴线与蜗杆轴线间的距离
图1 砂轮安装位置
2．zc1蜗杆齿面方程
如图2所示，设蜗杆坐标系数为σ（o－xyz），砂轮坐标系数为σ1（o－x1y1z1）。两坐标系的z与z1交错，交错角为蜗杆导程角γ，zui短距离为a，且x轴在z与z1的公垂线上。由文献［1］可知，在已知砂轮参数的条件下，zc1蜗杆齿面方程为
式中 φ，θ——砂轮表面的参数
ψ——磨削时蜗杆的转角
p——蜗杆螺旋参数，
n——蜗杆头数
（2）式中ρ，a，γ，a，d的意义与（1）式相同。
图2 坐标系的设置
3．zc1蜗杆轴向齿廓方程
对于蜗杆轴向齿廓，y＝0成立，故由（2）式中的第二式得
式中 υ＝（ρcosθ－α）sinγ－（ρsinθ＋d）cosγsinφ
ω＝（ρsinθ＋d）cosφ－a
将（4）、（3）两式联立，即可求出轴向齿廓方程，它是一个非线性超越方程。实际测量中，通常给出一系列xi（i＝1，2，…，n），利用计算机即可方便地求解出相应的zi值。
4．蜗杆齿廓的测量原理
图3所示为蜗杆的齿廓测量原理图。具有平行簧片机构的线性测头安装在一个能同时在x方向（蜗杆径向）与z方向（蜗杆轴向）运动的测量滑板上。计算机控制滑板在x方向和z方向运动时，测头能沿蜗杆齿廓进行扫描测量。其中滑板的z向运动是大行程的“粗”运动，具有微位移功能的测头传感器用于补偿滑板的运动误差，并同时感受齿形误差。在扫描测量过程中，x方向的位移传感器等间距地发出采样信号，对测头传感器和z向位移传感器进行采样。对于实际齿廓上的任一被测点，每一个xi均有与之相对应的z向位移传感器读数li和测头读数δi。该点的实际轴向坐标zai为
zai＝li＋δi （5）
假设在一个齿廓上测量n点，则实际齿廓可表征为这些点的集合σa
σa：｛（xi，zai）｜i＝1，2，…，n｝ （6）
图3 测量原理示意图
对应xi，根据（3）式可求出蜗杆齿廓上相应的z向理论坐标值，在此记为zi，则理论齿廓可表征为集合σ
σ：｛（xi，zi）｜i＝1，2，…，n｝ （7）
由（6）、（7）式可求出蜗杆在轴向的齿形误差集合err
err： ｛err（i）＝zai－zi｜i＝1，2，…，n｝ （8）
如果该蜗杆共测量m个轴向齿廓，每一齿廓上采样n个点，zui后得到齿形误差在轴向的计算公式为
5．蜗杆参数反求
在生产实践中，常常遇到与蜗杆相关的另一类问题：在拥有蜗杆实物的情况下，如何获得该蜗杆的几何参数以及加工安装参数。这是一个反求工程问题。zc蜗杆的参数反求较之普通直纹面蜗杆的参数反求，其复杂之处在于如何确定zc蜗杆的齿廓参数。除齿廓参数外，zc蜗杆的其它参数均能采用常规量具或通用量仪测得。本文着重探讨zc1蜗杆齿廓参数的确定方法。
zc1蜗杆的齿廓参数反求可分解成两个问题：（1）如何获取齿廓的基本信息，即齿廓测量问题；（2）在获得齿廓信息后，如何获取齿廓参数，即齿廓信息分析问题。
利用上节介绍的测量原理，在未知齿廓参数的条件下，实现齿廓测量的关键在于如何控制测头的运动轨迹。常用的控制策略有两种：跟踪测量法与分段逼近法。
跟踪测量法是指在测量过程中，根据测头的读数变化，计算机实时控制测量滑板在z向的运动速度，使测头读数在设定值附近变化而不超过测头传感器的量程，实现测头跟随齿廓形状运动。这种方法的缺点是测量速度较慢。
分段逼近法是指将齿廓分成几段，每段用直线去逼近，测头在每段作相应的直线运动，以便测头实现扫描测量。在测头量程较大的情况下，将齿廓分为两段即可满足要求。如图4所示，用卡尺或通用量仪测量出图示尺寸，求出比例系数ci作为控制滑板运动的依据。其中ci为
分段逼近法的优点是齿廓测量速度较快。
图4 齿廓分段
获得蜗杆实际齿廓的坐标集合σa后，求解齿廓参数的问题实际变成了一个多变量优化问题。目标函数f为
其中f是ρ，a，γ，αn的函数。满足一定约束条件，结合蜗杆副的实际要求，对（11）式进行优化处理，即f→min，便能求出齿廓参数与加工安装参数。
6．测量实例
在hcm320柱坐标测量机上应用上述原理和方法测量zc1蜗杆的齿廓。被测蜗杆的法截面如图5所示，其参数为：m＝5．2mm，αn＝23°，γ＝10°47′03′，z＝2。应用monte carlo法对（3）式求解，即可方便地得到该蜗杆的理论齿廓。图6所示为求出的右齿面的轴向齿廓（比例1∶10）；图7所示为实测结果，其中在x方向的采样间距为0.05mm。为了以更大比例（1∶100）绘出理论齿廓和实测齿廓，以便能看出两者间的差别，图7a是对理论齿廓和实际齿廓进行坐标变换后的结果；如图7b是齿形误差曲线（1∶500）与测量结果。如对该蜗杆的同一齿廓测量5次，其重复性为0.8μm。测量齿廓时，起测点与蜗杆轴线间实际距离的确定是保证测量精度的关键因素，为此，测量时应校准仪器的零位。
图5 蜗杆法截面
图6 轴向理论齿廓
图7 齿廓曲线与齿形误差
7．结束语
本文所述测量zc1蜗杆齿廓的方法具有速度快、精度高等特点。本方法也适用于zk蜗杆等其它曲纹面蜗杆的齿廓测量，只是理论齿廓不同。
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abstract： based on the profile equation，the principle and model of measuring the profile of zc1 worms is discussed．the methods of measuring the profile of zc1 worms and reverse calculating worm parameters are presented．the result of measuring the profile of a zc1 worm by a cylindrical coordinate measuring machine is given．
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1．引 言
按gb10086-88规定，圆弧圆柱蜗杆（zc）有三种形式：圆环面包络圆柱蜗杆（zc1）、圆环面圆柱蜗杆（zc2）和轴向圆弧齿圆柱蜗杆（zc3）。本文主要介绍zc1蜗杆的测量及相关问题，zc2和zc3蜗杆的测量与zc1蜗杆类同。
zc1蜗杆是一种磨削型曲纹面蜗杆，其齿面形状取决于加工砂轮的几何参数与安装位置。在砂轮的轴平面内，产形线是圆环面母圆的一段凸圆弧；磨削时，砂轮轴线相对于蜗杆轴线偏转一个蜗杆导程角γ，砂轮的轴截面齿形角与蜗杆的法面齿形角相等，如图1所示。其安装参数为
式中 ρ——砂轮轴截面齿廓圆弧半径
r——蜗杆分度圆半径
an——蜗杆分度圆的法向齿形角
a——砂轮齿廓圆弧中心到蜗杆轴线与砂轮轴线的公垂线的距离
b——砂轮齿廓圆弧中心到蜗杆轴线的距离
d——砂轮齿廓圆弧中心到砂轮轴线的距离
a——砂轮轴线与蜗杆轴线间的距离
图1 砂轮安装位置
2．zc1蜗杆齿面方程
如图2所示，设蜗杆坐标系数为σ（o－xyz），砂轮坐标系数为σ1（o－x1y1z1）。两坐标系的z与z1交错，交错角为蜗杆导程角γ，zui短距离为a，且x轴在z与z1的公垂线上。由文献［1］可知，在已知砂轮参数的条件下，zc1蜗杆齿面方程为
式中 φ，θ——砂轮表面的参数
ψ——磨削时蜗杆的转角
p——蜗杆螺旋参数，
n——蜗杆头数
（2）式中ρ，a，γ，a，d的意义与（1）式相同。
图2 坐标系的设置
3．zc1蜗杆轴向齿廓方程
对于蜗杆轴向齿廓，y＝0成立，故由（2）式中的第二式得
式中 υ＝（ρcosθ－α）sinγ－（ρsinθ＋d）cosγsinφ
ω＝（ρsinθ＋d）cosφ－a
将（4）、（3）两式联立，即可求出轴向齿廓方程，它是一个非线性超越方程。实际测量中，通常给出一系列xi（i＝1，2，…，n），利用计算机即可方便地求解出相应的zi值。
4．蜗杆齿廓的测量原理
图3所示为蜗杆的齿廓测量原理图。具有平行簧片机构的线性测头安装在一个能同时在x方向（蜗杆径向）与z方向（蜗杆轴向）运动的测量滑板上。计算机控制滑板在x方向和z方向运动时，测头能沿蜗杆齿廓进行扫描测量。其中滑板的z向运动是大行程的“粗”运动，具有微位移功能的测头传感器用于补偿滑板的运动误差，并同时感受齿形误差。在扫描测量过程中，x方向的位移传感器等间距地发出采样信号，对测头传感器和z向位移传感器进行采样。对于实际齿廓上的任一被测点，每一个xi均有与之相对应的z向位移传感器读数li和测头读数δi。该点的实际轴向坐标zai为
zai＝li＋δi （5）
假设在一个齿廓上测量n点，则实际齿廓可表征为这些点的集合σa
σa：｛（xi，zai）｜i＝1，2，…，n｝ （6）
图3 测量原理示意图
对应xi，根据（3）式可求出蜗杆齿廓上相应的z向理论坐标值，在此记为zi，则理论齿廓可表征为集合σ
σ：｛（xi，zi）｜i＝1，2，…，n｝ （7）
由（6）、（7）式可求出蜗杆在轴向的齿形误差集合err
err： ｛err（i）＝zai－zi｜i＝1，2，…，n｝ （8）
如果该蜗杆共测量m个轴向齿廓，每一齿廓上采样n个点，zui后得到齿形误差在轴向的计算公式为
5．蜗杆参数反求
在生产实践中，常常遇到与蜗杆相关的另一类问题：在拥有蜗杆实物的情况下，如何获得该蜗杆的几何参数以及加工安装参数。这是一个反求工程问题。zc蜗杆的参数反求较之普通直纹面蜗杆的参数反求，其复杂之处在于如何确定zc蜗杆的齿廓参数。除齿廓参数外，zc蜗杆的其它参数均能采用常规量具或通用量仪测得。本文着重探讨zc1蜗杆齿廓参数的确定方法。
zc1蜗杆的齿廓参数反求可分解成两个问题：（1）如何获取齿廓的基本信息，即齿廓测量问题；（2）在获得齿廓信息后，如何获取齿廓参数，即齿廓信息分析问题。
利用上节介绍的测量原理，在未知齿廓参数的条件下，实现齿廓测量的关键在于如何控制测头的运动轨迹。常用的控制策略有两种：跟踪测量法与分段逼近法。
跟踪测量法是指在测量过程中，根据测头的读数变化，计算机实时控制测量滑板在z向的运动速度，使测头读数在设定值附近变化而不超过测头传感器的量程，实现测头跟随齿廓形状运动。这种方法的缺点是测量速度较慢。
分段逼近法是指将齿廓分成几段，每段用直线去逼近，测头在每段作相应的直线运动，以便测头实现扫描测量。在测头量程较大的情况下，将齿廓分为两段即可满足要求。如图4所示，用卡尺或通用量仪测量出图示尺寸，求出比例系数ci作为控制滑板运动的依据。其中ci为
分段逼近法的优点是齿廓测量速度较快。
图4 齿廓分段
获得蜗杆实际齿廓的坐标集合σa后，求解齿廓参数的问题实际变成了一个多变量优化问题。目标函数f为
其中f是ρ，a，γ，αn的函数。满足一定约束条件，结合蜗杆副的实际要求，对（11）式进行优化处理，即f→min，便能求出齿廓参数与加工安装参数。
6．测量实例
在hcm320柱坐标测量机上应用上述原理和方法测量zc1蜗杆的齿廓。被测蜗杆的法截面如图5所示，其参数为：m＝5．2mm，αn＝23°，γ＝10°47′03′，z＝2。应用monte carlo法对（3）式求解，即可方便地得到该蜗杆的理论齿廓。图6所示为求出的右齿面的轴向齿廓（比例1∶10）；图7所示为实测结果，其中在x方向的采样间距为0.05mm。为了以更大比例（1∶100）绘出理论齿廓和实测齿廓，以便能看出两者间的差别，图7a是对理论齿廓和实际齿廓进行坐标变换后的结果；如图7b是齿形误差曲线（1∶500）与测量结果。如对该蜗杆的同一齿廓测量5次，其重复性为0.8μm。测量齿廓时，起测点与蜗杆轴线间实际距离的确定是保证测量精度的关键因素，为此，测量时应校准仪器的零位。
图5 蜗杆法截面
图6 轴向理论齿廓
图7 齿廓曲线与齿形误差
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