多轴联动线性插补及其“S加减速”规划算法
1 前言多轴联动的线性插补及其加减速算法是数控系统的核心技术。加减速处理分前加减速处理和后加减速处理。前加减速处理在插补之前，其优点在于对合成速度进行控制，不影响位置精度，但要进行减速点的预测。前加减速通常采用直线加减速。后加减速是对各插补轴分别进行加减速控制，由于各轴之间没有协调关系，因此，合成位置可能不准确。 s曲线加减速通常用于后加减速处理，我们在开发基于开放式数控系统的多坐标联动纤维缠绕机时，将其应用于前加减速处理，取得了很好的效果。2 多轴联动的线性插补s加减速s曲线加减速规划是指在加减速时，使其加速度的导数（jerk） da/dt为常数，通过对加jerk值的控制来zui大限度地减小对机械系统造成的冲击。另外，通过对加速度和jerk两个物理量的参数设定或编程设定，可实现柔性加减速控制，以适应不同种类机床的工况。 设在n维线性插补数控程序中，任意一段插补数据为 | p1, p2, …，pn, f |其中：f为合成速度，p1～pn为各插补轴当前段的位移。 根据线性插补原理，各插补轴的位移与速度比相等，则有应于各插补轴的分速度。令 |pi| = p =tsepi=1, 2, …, n
fi f
（1）
图1 “s加减速”规划原理图
式中：p=（pi2）?表示合成位移；tsep表示该线性插补段各轴同时到达终点所需时间；f1～f2为合成速度对应于各插补轴的分速度。 令 ki= pi i=1, 2, …, n
p
（2）
则 fi=kifi=1, 2, …, n （3）
在前加减速处理时，对给定速度进行规划，如图1所示，整个加减速过程分为三段，即加速段（1, 2, 3区），匀速段（4区）和速段（4, 5, 6区）。在加速段和减速段，又分别包括变加减速区（1, 3, 5, 7区）和恒加减速区（2, 6区）：变加减速区，|da/dt|=j, jerk为恒值；恒加减速区，|a|=a，加速度为恒值，匀速段（4区）的速度为恒值vc。 各轴的运动参量成比例 对已规划的合成速度v（t）在te点幂级数展开，令?t=t-tx，有 v（t）=v（tx）+a（tx）?t+?j（te）?t2 （4）
同理，各插补轴对应．点速度 vi（t）=vi（te）+ai（te）?t+?ji（tx）?t2fi=1, 2, …, n （5）
根据线性插补原理，合成速度与各插补轴速度有下列比例关系： vi（t）=kiv（t）fi=1, 2, …, n （6）
对于上面恒等式，应有 vi（tx）=kiv（tx）, ai（tx）=kia（tx）, ji（tx）=kij（tx） （7）
由于tx为任意一点，此式表明段内加减速过程中各插补轴的速度、加速度和jerk分别与合成的速度、加速度和jerk对应成比例。当对合成速度按s曲线规划时，各插补轴在保证空间轨迹的同时，也按s曲线进行加减速，即s曲线加减速可用于前加减速控制。同时，上述关系可用于各插补轴的速度、加速度和jerk的极限值检查。 s加减速的插补递推公式 设插补周期为t，则在第k个插补周期结束时的合成位移sk为 sk = ∫ tk v（t）dt= ∫ tk-1 v（t）dt+ ∫ tk-1+t v（t）dt=sk-1 ∫ t （vk-1+ak-1t+?jt2）dt =sk-1+vk-1t+?ak-1t2+（1/6）jt3
0 0 tk-1 0
（8）
第k个插补周期内的合成位移增量为 ?sk=vk-1t+（1/2）ak-1t2+（1/6）jt3=vk-1t+（1/2）（ak-1+（1/3）jt）t2=vk-1+（1/2）akt2=（vk-1+（1/2）akt）=vkt （9）
ak=ak-1+（1/3）jt （10）
vk=vk-1+（1/2）akt （11）
注意，上述递推公式是分区适应的，即 j= { j, t∈[t0，t1]∪t6，t7
0, t∈（t1，t2）∪（t3，t4）∪（t5，t6）
-j, t∈[t2，t3]∪[t4，t5]
（12）
只要初始条件ak-1和vk-1给定，则可推导出各插补周期的合成位移增量。进而得到各插补轴在插补周期内的位移增量，其公式为 ?pik= pi ?sk=ki?sk
p
（13）
区间的判别 段内加减速时，每程序段伺服电动机速度总要减到零后再执行下一程序段。因此其加速段和减速段的位移相等，见图1。 1区（t0-t1）的初始速度和初始加速度为0，则在t1时刻的位移pti=（1/6）jt13，其加速度a1=a=jts，速度vt1=（1/2）at12=（1/2）ats，则 ts=t1=a/j （14）
由图1中的加速度图线可以看出 v=（1/2）ats+atl+（1/2）ats=a（ts+tl） （15）
则 tl=（v/a）-（a/j） （16）
ta=2ts+tl=（v/a）+（a/j） （17）
由ts、tl、tm可计算出t0～t7的时间，并以此进行区间判别。 终点判别 终点距离?s及各轴距终点距离?si
图2 插补计算流程框图
?s=p- k ?sk
∑
1
（18）
?si=pi- k ?pik
∑
1
（19）
3 算法描述加减速的规划在插补预处理中进行。 读入a、j、v、pi。 计算ki，计算出的各轴的速度和加速度将与各轴的极限值比较，如果超出极限值，修正v。 扫描速度倍率k，令v=kv。 初始化，t0=o，?si=pi。 速度规划，计算tl、ts、tm。 置速度规划完成标志。 插补。插补的计算流程框图如图2所示，插补预处理的加减速规划中，已得出各区的时间范围，插补时只需判断当前插补周期所在区间，即可按插补迭代公式计算出各插补轴与速度规划适应的位移增量，从而实现其加减速。4 结语本文给出了基于速度s曲线加减速规划的插补迭代算法，并应用于前加减速处理。虽然只考虑了一般情况下的段内加减速，但其思想和方法对更复杂的段内加减速和段间加减依然适用。本文给出的算法可采用加速度和加速度导数编程，能zui大限度地适应各类数控机床的加工工况，同时，本算法也非常简洁和易于实现。
双头液体卧式气动灌装机-化学双头全自动液体活塞式灌装机
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便携式微量氧分析仪具有快速响应的特点
电动调节阀的流通能力和流量特性
太阳能污水处理的原理和技术介绍
多轴联动线性插补及其“S加减速”规划算法
电缆浮球液位开关的结构介绍
常见的实验室家具有哪几种？
天燃气管道阻火器设计规范
荧光模块相关问题
进口浮游菌检测设备装箱运输前须注意的几个要点
[推荐]浅谈催化燃烧设备
热收缩带防腐胶带的剥离状态
矿山机械常识：制砂机安装及机器运转调试
三点概要说明超细粉碎机在食品工业中的应用
快速温变试验箱此试验可提高产品的可靠性和进行产品的质量控制
光伏半导体超纯水“守护”清洗工序
臭氧发生器设计的规则
过腐蚀性介质的阀门该如何选择？
土壤养分测试仪的应用优势
fi f
（1）
图1 “s加减速”规划原理图
式中：p=（pi2）?表示合成位移；tsep表示该线性插补段各轴同时到达终点所需时间；f1～f2为合成速度对应于各插补轴的分速度。 令 ki= pi i=1, 2, …, n
p
（2）
则 fi=kifi=1, 2, …, n （3）
在前加减速处理时，对给定速度进行规划，如图1所示，整个加减速过程分为三段，即加速段（1, 2, 3区），匀速段（4区）和速段（4, 5, 6区）。在加速段和减速段，又分别包括变加减速区（1, 3, 5, 7区）和恒加减速区（2, 6区）：变加减速区，|da/dt|=j, jerk为恒值；恒加减速区，|a|=a，加速度为恒值，匀速段（4区）的速度为恒值vc。 各轴的运动参量成比例 对已规划的合成速度v（t）在te点幂级数展开，令?t=t-tx，有 v（t）=v（tx）+a（tx）?t+?j（te）?t2 （4）
同理，各插补轴对应．点速度 vi（t）=vi（te）+ai（te）?t+?ji（tx）?t2fi=1, 2, …, n （5）
根据线性插补原理，合成速度与各插补轴速度有下列比例关系： vi（t）=kiv（t）fi=1, 2, …, n （6）
对于上面恒等式，应有 vi（tx）=kiv（tx）, ai（tx）=kia（tx）, ji（tx）=kij（tx） （7）
由于tx为任意一点，此式表明段内加减速过程中各插补轴的速度、加速度和jerk分别与合成的速度、加速度和jerk对应成比例。当对合成速度按s曲线规划时，各插补轴在保证空间轨迹的同时，也按s曲线进行加减速，即s曲线加减速可用于前加减速控制。同时，上述关系可用于各插补轴的速度、加速度和jerk的极限值检查。 s加减速的插补递推公式 设插补周期为t，则在第k个插补周期结束时的合成位移sk为 sk = ∫ tk v（t）dt= ∫ tk-1 v（t）dt+ ∫ tk-1+t v（t）dt=sk-1 ∫ t （vk-1+ak-1t+?jt2）dt =sk-1+vk-1t+?ak-1t2+（1/6）jt3
0 0 tk-1 0
（8）
第k个插补周期内的合成位移增量为 ?sk=vk-1t+（1/2）ak-1t2+（1/6）jt3=vk-1t+（1/2）（ak-1+（1/3）jt）t2=vk-1+（1/2）akt2=（vk-1+（1/2）akt）=vkt （9）
ak=ak-1+（1/3）jt （10）
vk=vk-1+（1/2）akt （11）
注意，上述递推公式是分区适应的，即 j= { j, t∈[t0，t1]∪t6，t7
0, t∈（t1，t2）∪（t3，t4）∪（t5，t6）
-j, t∈[t2，t3]∪[t4，t5]
（12）
只要初始条件ak-1和vk-1给定，则可推导出各插补周期的合成位移增量。进而得到各插补轴在插补周期内的位移增量，其公式为 ?pik= pi ?sk=ki?sk
p
（13）
区间的判别 段内加减速时，每程序段伺服电动机速度总要减到零后再执行下一程序段。因此其加速段和减速段的位移相等，见图1。 1区（t0-t1）的初始速度和初始加速度为0，则在t1时刻的位移pti=（1/6）jt13，其加速度a1=a=jts，速度vt1=（1/2）at12=（1/2）ats，则 ts=t1=a/j （14）
由图1中的加速度图线可以看出 v=（1/2）ats+atl+（1/2）ats=a（ts+tl） （15）
则 tl=（v/a）-（a/j） （16）
ta=2ts+tl=（v/a）+（a/j） （17）
由ts、tl、tm可计算出t0～t7的时间，并以此进行区间判别。 终点判别 终点距离?s及各轴距终点距离?si
图2 插补计算流程框图
?s=p- k ?sk
∑
1
（18）
?si=pi- k ?pik
∑
1
（19）
3 算法描述加减速的规划在插补预处理中进行。 读入a、j、v、pi。 计算ki，计算出的各轴的速度和加速度将与各轴的极限值比较，如果超出极限值，修正v。 扫描速度倍率k，令v=kv。 初始化，t0=o，?si=pi。 速度规划，计算tl、ts、tm。 置速度规划完成标志。 插补。插补的计算流程框图如图2所示，插补预处理的加减速规划中，已得出各区的时间范围，插补时只需判断当前插补周期所在区间，即可按插补迭代公式计算出各插补轴与速度规划适应的位移增量，从而实现其加减速。4 结语本文给出了基于速度s曲线加减速规划的插补迭代算法，并应用于前加减速处理。虽然只考虑了一般情况下的段内加减速，但其思想和方法对更复杂的段内加减速和段间加减依然适用。本文给出的算法可采用加速度和加速度导数编程，能zui大限度地适应各类数控机床的加工工况，同时，本算法也非常简洁和易于实现。
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