不同切削力预测建模方法的比较研究
1 引言在切削技术研究及实际切削加工中，有关切削力的数据是计算切削功率、设计和使用机床、刀具和夹具、开发切削数据库、实现加工中切削力控制等的重要依据。在实际生产中，为了在粗加工时充分利用机床功率，在精加工时有效保证工件质量，均需合理选择切削条件，并对选定切削条件下的切削力进行预测。 预测切削力的经验模型主要建立在zui小二乘回归法的基础上，近年来，人工神经网络法和灰色理论建模法的应用也越来越多。这些建模方法具有不同的特点及使用条件，并各有利弊。本文结合实例对人工神经网络法和灰色理论建模法的建模特点及其优劣进行了较深入的分析，并与常用的zui小二乘回归法进行比较，旨在为合理选择建模方法提供参考依据。2 基于径向基神经网络的切削力预测建模基于kolmogorov定理的三层bp神经网络可较地拟合任意连续函数，当输入节点数为n时，隐层节点数为（2n+1）且常选择sigmoid型传递函数。在实际应用中，往往需要大量的bp隐层节点，通过增加隐层数可减少各隐层上的节点数，但迄今尚无选取bp网络隐层数及其节点数的统一方法。此外，标准bp以及各种改进型bp算法均存在局部极小和收敛速度的问题。 径向基神经网络（rbf）拟合任意连续（或不连续）目标函数的能力及学习速度均优于bp网络。rbf的隐层节点采用径向基传递函数，其节点数不像bp网络那样需预先设定，而是在学习过程中不断增加直到满足误差指标为止。 根据切削力及其影响因素的特点，设计如下图所示的rbf网络。由图可知，rbf网络包括输入层、一个rbf隐层和输出层。输出层包含一个用于输出预测切削力的线性节点。隐层包含s1个rbf节点且s1值在学习过程中动态增加。输入层的r×q阶输入矢量阵p表示有r个输入节点，在每个节点处输入q个样本（q等于试验组数m）。每个输入节点代表切削力的一个影响因子，且切削力的所有可量化影响因子均可抽象为一个输入节点。若考虑切削深度、进给量、切削速度、工件材料的剪切屈服应力、刀具材料、刀具的负倒棱宽度、主偏角、刃倾角、刀尖圆弧半径、刀具磨损、切削液等各种影响因素，则可有多个输入节点。根据实际建模经验，可主要考虑切削深度和进给量的影响，此时输入节点数r=2。
切削力预测的径向基神经网络结构图
（s2=1，s1动态确定）
设在m组切削条件下测得的试验数据为[p，t]，目标输出为t=[fz1，…，fzm]，r×q阶输入矢量阵p表示在q=m组试验中每组考虑r个切削力影响因子。在选定有关设计控制参数（如期望的网络输出误差平方和指标等）后，根据试验数据[p，t]，采用rbf设计算法可在较短时间内确定rbf网络隐层及输出层上的权矩阵w、偏差矩阵b及隐层上的节点数s1，完成切削力预测的神经建模。3 切削力预测的灰色建模灰色集合理论擅长于处理具有“部分信息已知、部分信息未知的小样本、贫信息”特点的不确定性对象，它通过对“部分已知信息”的生成与开发，从中提取有用信息，zui终实现对研究对象内在规律的有效描述。切削加工实践表明，由于各种因素的影响，切削力通常表现出不确定性特征。gm（1，1）灰色建模原理简介如下： 设实测的原始数据序列为 y0=｛y0（1），y0（2），…，y0（j），…，y0（n）｝它的一次累加生成序列定义为 y1=｛y1（1），y1（2），…，y1（j），…，y1（n）｝其中，y1（j）为 y1（j）= j y0（i）
σ
i=1
（1）
对于序列y1，其相邻平均生成定义为 z1={z1（2），…，z1（i），…，z1（n）｝其中，z1（i）可表达为 z1（i）=0.5y1（i）+0.5y1（i-1）假设列向量y=y0（2），y0（3），…，y0（n）]t，且矩阵b定义为 b=[-z1（2），1；-z1（3），1；…；-z1（n），1]在灰色微分方程dy1/dt+ay1（t）=b中，参数a和b的估计值确定为 [a，b]t=（btb）z-1bty根据式（1），有y1（0）=y0（1）。灰色微分方程的解为 ?1（1）=y0（1） （2）
?1（i）=[y0（1）-（b/a）]exp[-a（i-1）]+（b/a） （3）
其中：i=2，3，…，n。式（2）、（3）可用于求y1的模拟序列y1。因此，y0的模拟序列y0可确定为 ?0（1）=y0（1） （4）
?0（i）=?1（i）-?1（i-1） （5）
其中：i=2，3，…，n。利用式（4）、（5），i≤n用于原始序列y0的模拟；i>n用于切削力不确定性预测。4 模型的验证与分析为了验证建模方法的有效性和准确性，需要获取建模数据和评价数据。表1为车削试验得出的切削力数据。试验条件：工件材料45钢（正火，hb=187），工件直径81mm；yt15外圆车刀（416a），前角15°，后角68°，副后角4°～6°，主偏角75°，副偏角10°～12°，刃倾角0°，刀尖圆弧半径r0.2mm，负倒棱宽度为0；主轴转速n=380r/min，切削速度v=96m/min。 表1 切削力测量数据 no. 1 2 3 4 5 6 7 8 9
ap（mm） 2 2 2 2 2 3 3 3 3
f（mm/r） 0.2 0.3 0.4 0.5 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
主切削力fz（n） 878 1129 1443 1756 627 1255 1756 2195 2760
神经网络模型的验证与分析 基于图1所示模型和表1数据，选择ap和f作为输入层节点，实测切削力fz作为目标输出。选择表1中的数据样本～8用于建模，数据样本no.9用于模型评价。采用径向基学习算法设计图1所示具体模型时，学习控制参数如下：网络输出误差平方和期望值e=0.01，径向基散布值sp=1.0，隐层zui大节点数nr=1000，显示频率df=25。通过编程计算，得到表2所示切削力神经网络具体模型参数。基于表2模型和与表1切削条件对应的切削力神经网络计算结果列于表3。为便于比较，表3还列出了切削力实测值以及采用普通zui小二乘多元线性回归模型的计算结果。zui小二乘回归建模是基于表1中的数据样本～8，数据样本no.9用于模型评价。回归模型的线性形式为 yp= 5.135186 + 0.9719143[ln（ap）]p+ 0.862146[ln（f）]p （6a）
fz= exp（yp） （6b）
表2 切削力神经网络具体模型参数 隐层上权wh 隐层偏差bh 输出层wo（×106）
w11=0.4，w12=3.0 b1=0.8326 w11=0.4487
w21=0.3，w22=3.0 b2=0.8326 w12=-0.3428
w31=0.5，w32=2.0 b3=0.8326 w13=0.6923
w41=0.4，w42=2.0 b4=0.8326 w14=-1.0032
w51=0.1，w52=3.0 b5=0.8326 w15=0.5320
w61=0.2，w62=2.0 b6=0.8326 w16=0.3526
w71=0.2，w72=3.0 b7=0.8326 w17=-0.5968
其它结构参数：两个输入节点为ap，f；隐层节点数s1=7（通过学习确定）；隐层节点传递函数为radbas；输出层节点数s1=1（预选）；输出节点传递函数为线性函数；输出层偏差b0=-4.0992×104
表3 切削力fz的神经网络预测值、zui小二乘估计值与实测值的比较 no. 切削力fz（n）
实测值 神经网络预测值 相对误差b% zui小二乘估计值 相对误差b%
1 878 878 0 815 -7.2
2 1129 1129 0 1157 +2.5
3 1443 1443 0 1482 +2.7
4 1756 1756 0 1797 +2.3
5 627 627 0 665 +6.1
6 1255 1255 0 1209 -3.7
7 1756 1756 0 1715 -2.3
8 2195 2195 0 2198 +0.14
9 2760 2415 -12.5 2665 -3.4
表3中，相对误差定义为：b%=[（预测值-实测值）/实测值]×100%。 由表3可知，径向基神经网络（rbf）建模方法具有如下特点：①可拟合任意连续或非连续函数（如数据样本～8），其拟合精度高于常用的zui小二乘回归法；由于rbf隐层上节点采用径向基传递函数，故节点数不需预先设定，而是在学习过程中不断增加直至满足误差指标为止。②当所选切削条件在建模试验样本的切削条件上限或下限之外时，径向基神经网络的预测效果较差，拟合精度低于zui小二乘回归法（如数据样本no.9）。③为使神经网络法的预测范围较宽、预测结果较准确，选取建模用的各个试验样本之间切削条件的差异不应太大，且应采集尽可能多的试验样本，但此时rbf网络的隐层节点数将增多。 灰色预测模型的验证与分析 根据前述gm（1，1）灰色建模原理，选取表1中的数据样本～8用于建模，数据样本no.9用于模型评价。可得到表4所示的切削力fz的灰色模型预测值以及与zui小二乘估计值和实测值的比较结果。由表4可知，灰色模型的拟合和预测精度低于常用的zui小二乘回归法（即相对误差较大），这是因为灰色模型的建模数据分布不能较好服从e指数规律分布所致。 表4 切削力fz的灰色模型预测值、zui小二乘估计值与实测值的比较 no. 切削力fz（n）
实测值 灰色模型预测值 相对误差b% zui小二乘估计值 相对误差b%
1
2
3
4
5
6
7
8
9 878
1129
1443
1756
627
1255
1756
2195
2760 878.00
1075.2
1179.2
1293.3
1418.4
1555.5
1706.0
1871.0
2051.9 0.0
-4.8
-18.3
-26.3
+126
+23.9
-2.8
-14.8
-25.7 815
1157
1482
1797
665
1209
1715
2198
665 -7.2
+2.5
+2.7
+2.3
+6.1
-3.7
-2.3
+0.14
-3.4
灰色微分方程的参数估计值：[a，b]=[-0.0923，945.2975]
从表1去掉数据样本no.4～6，将数据样本～3和no.7～8用于建模，no.9仍用于模型评价，从而使建模数据更接近e指数规律分布，得到的灰色模型预测结果列于表5。显然，相对于表4而言，表5的灰色模型拟合和预测精度有了明显提高，且建模数据样本更少，这正是灰色建模方法的显著特点之一。 表5 切削力fz的灰色模型预测 no. 切削力fz（n）
实测值 灰色模型预测值 相对误差b%
1
2
3
7
8
9 878
1129
1443
1756
2195
2760 878
1138
1413.3
1755.3
2179.9
2707.3 0.0
+0.79716
-2.05821
-0.03986
-0.68792
-1.90942
灰色微分方程的参数估计值：[a，b]=[-0.2167，828.9403]
灰色模型预测法适合“少样本、贫信息”建模，且可获得较高的模型拟合和预测精度，但其先决条件是建模数据样本必须较好服从e指数分布规律。为进一步验证其建模特点，表6列出了另一计算实例，即采用灰色模型预测外圆磨削加工中的法向磨削力fn。其中，数据样本～5用于建模，数据样本no.6用于模型评价，法向磨削力fn的实测值引自参考文献。从表6可知，只要建模数据样本较好服从e指数分布规律，则灰色模型预测法的拟合和预测精度优于zui小二乘回归法。 表6 外圆磨削加工中法向磨削力fn的灰色模型预测 no. 切削力fz（n）
实测值 灰色模型预测值 相对误差b% zui小二乘估计值 相对误差b%
1
2
3
4
5
6 7.84
8.10
8.38
8.75
9.32
9.93 7.84
8.04
8.42
8.83
9.25
9.69 0
-0.77
+0.52
+0.89
-0.72
-2.3 7.69
8.24
8.58
8.83
9.09
9.19 -1.865
+1.76
+2.406
+0.92
-3.13
-7.415
灰色微分方程的参数估计值：[a，b]=[-0.04695，7.48196]
5 结论 对于切削力的预测，zui小二乘回归法和人工神经网络法均是有效的建模方法。这两种建模方法均要求提供尽可能多的数据样本，以保证较高的拟合精度和适用范围。神经网络法的建模拟合精度优于zui小二乘回归法；但在建模数据以外的数据预测方面，zui小二乘回归法则更具优势。 在建模数据样本较好服从e指数分布规律的前提下，灰色模型预测法的拟合和预测精度优于zui小二乘回归法，且可在“少样本、贫信息”的数据条件下实现建模。如数据样本不服从e指数分布规律，则选用zui小二乘回归法建模效果更好。
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切削力预测的径向基神经网络结构图
（s2=1，s1动态确定）
设在m组切削条件下测得的试验数据为[p，t]，目标输出为t=[fz1，…，fzm]，r×q阶输入矢量阵p表示在q=m组试验中每组考虑r个切削力影响因子。在选定有关设计控制参数（如期望的网络输出误差平方和指标等）后，根据试验数据[p，t]，采用rbf设计算法可在较短时间内确定rbf网络隐层及输出层上的权矩阵w、偏差矩阵b及隐层上的节点数s1，完成切削力预测的神经建模。3 切削力预测的灰色建模灰色集合理论擅长于处理具有“部分信息已知、部分信息未知的小样本、贫信息”特点的不确定性对象，它通过对“部分已知信息”的生成与开发，从中提取有用信息，zui终实现对研究对象内在规律的有效描述。切削加工实践表明，由于各种因素的影响，切削力通常表现出不确定性特征。gm（1，1）灰色建模原理简介如下： 设实测的原始数据序列为 y0=｛y0（1），y0（2），…，y0（j），…，y0（n）｝它的一次累加生成序列定义为 y1=｛y1（1），y1（2），…，y1（j），…，y1（n）｝其中，y1（j）为 y1（j）= j y0（i）
σ
i=1
（1）
对于序列y1，其相邻平均生成定义为 z1={z1（2），…，z1（i），…，z1（n）｝其中，z1（i）可表达为 z1（i）=0.5y1（i）+0.5y1（i-1）假设列向量y=y0（2），y0（3），…，y0（n）]t，且矩阵b定义为 b=[-z1（2），1；-z1（3），1；…；-z1（n），1]在灰色微分方程dy1/dt+ay1（t）=b中，参数a和b的估计值确定为 [a，b]t=（btb）z-1bty根据式（1），有y1（0）=y0（1）。灰色微分方程的解为 ?1（1）=y0（1） （2）
?1（i）=[y0（1）-（b/a）]exp[-a（i-1）]+（b/a） （3）
其中：i=2，3，…，n。式（2）、（3）可用于求y1的模拟序列y1。因此，y0的模拟序列y0可确定为 ?0（1）=y0（1） （4）
?0（i）=?1（i）-?1（i-1） （5）
其中：i=2，3，…，n。利用式（4）、（5），i≤n用于原始序列y0的模拟；i>n用于切削力不确定性预测。4 模型的验证与分析为了验证建模方法的有效性和准确性，需要获取建模数据和评价数据。表1为车削试验得出的切削力数据。试验条件：工件材料45钢（正火，hb=187），工件直径81mm；yt15外圆车刀（416a），前角15°，后角68°，副后角4°～6°，主偏角75°，副偏角10°～12°，刃倾角0°，刀尖圆弧半径r0.2mm，负倒棱宽度为0；主轴转速n=380r/min，切削速度v=96m/min。 表1 切削力测量数据 no. 1 2 3 4 5 6 7 8 9
ap（mm） 2 2 2 2 2 3 3 3 3
f（mm/r） 0.2 0.3 0.4 0.5 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
主切削力fz（n） 878 1129 1443 1756 627 1255 1756 2195 2760
神经网络模型的验证与分析 基于图1所示模型和表1数据，选择ap和f作为输入层节点，实测切削力fz作为目标输出。选择表1中的数据样本～8用于建模，数据样本no.9用于模型评价。采用径向基学习算法设计图1所示具体模型时，学习控制参数如下：网络输出误差平方和期望值e=0.01，径向基散布值sp=1.0，隐层zui大节点数nr=1000，显示频率df=25。通过编程计算，得到表2所示切削力神经网络具体模型参数。基于表2模型和与表1切削条件对应的切削力神经网络计算结果列于表3。为便于比较，表3还列出了切削力实测值以及采用普通zui小二乘多元线性回归模型的计算结果。zui小二乘回归建模是基于表1中的数据样本～8，数据样本no.9用于模型评价。回归模型的线性形式为 yp= 5.135186 + 0.9719143[ln（ap）]p+ 0.862146[ln（f）]p （6a）
fz= exp（yp） （6b）
表2 切削力神经网络具体模型参数 隐层上权wh 隐层偏差bh 输出层wo（×106）
w11=0.4，w12=3.0 b1=0.8326 w11=0.4487
w21=0.3，w22=3.0 b2=0.8326 w12=-0.3428
w31=0.5，w32=2.0 b3=0.8326 w13=0.6923
w41=0.4，w42=2.0 b4=0.8326 w14=-1.0032
w51=0.1，w52=3.0 b5=0.8326 w15=0.5320
w61=0.2，w62=2.0 b6=0.8326 w16=0.3526
w71=0.2，w72=3.0 b7=0.8326 w17=-0.5968
其它结构参数：两个输入节点为ap，f；隐层节点数s1=7（通过学习确定）；隐层节点传递函数为radbas；输出层节点数s1=1（预选）；输出节点传递函数为线性函数；输出层偏差b0=-4.0992×104
表3 切削力fz的神经网络预测值、zui小二乘估计值与实测值的比较 no. 切削力fz（n）
实测值 神经网络预测值 相对误差b% zui小二乘估计值 相对误差b%
1 878 878 0 815 -7.2
2 1129 1129 0 1157 +2.5
3 1443 1443 0 1482 +2.7
4 1756 1756 0 1797 +2.3
5 627 627 0 665 +6.1
6 1255 1255 0 1209 -3.7
7 1756 1756 0 1715 -2.3
8 2195 2195 0 2198 +0.14
9 2760 2415 -12.5 2665 -3.4
表3中，相对误差定义为：b%=[（预测值-实测值）/实测值]×100%。 由表3可知，径向基神经网络（rbf）建模方法具有如下特点：①可拟合任意连续或非连续函数（如数据样本～8），其拟合精度高于常用的zui小二乘回归法；由于rbf隐层上节点采用径向基传递函数，故节点数不需预先设定，而是在学习过程中不断增加直至满足误差指标为止。②当所选切削条件在建模试验样本的切削条件上限或下限之外时，径向基神经网络的预测效果较差，拟合精度低于zui小二乘回归法（如数据样本no.9）。③为使神经网络法的预测范围较宽、预测结果较准确，选取建模用的各个试验样本之间切削条件的差异不应太大，且应采集尽可能多的试验样本，但此时rbf网络的隐层节点数将增多。 灰色预测模型的验证与分析 根据前述gm（1，1）灰色建模原理，选取表1中的数据样本～8用于建模，数据样本no.9用于模型评价。可得到表4所示的切削力fz的灰色模型预测值以及与zui小二乘估计值和实测值的比较结果。由表4可知，灰色模型的拟合和预测精度低于常用的zui小二乘回归法（即相对误差较大），这是因为灰色模型的建模数据分布不能较好服从e指数规律分布所致。 表4 切削力fz的灰色模型预测值、zui小二乘估计值与实测值的比较 no. 切削力fz（n）
实测值 灰色模型预测值 相对误差b% zui小二乘估计值 相对误差b%
1
2
3
4
5
6
7
8
9 878
1129
1443
1756
627
1255
1756
2195
2760 878.00
1075.2
1179.2
1293.3
1418.4
1555.5
1706.0
1871.0
2051.9 0.0
-4.8
-18.3
-26.3
+126
+23.9
-2.8
-14.8
-25.7 815
1157
1482
1797
665
1209
1715
2198
665 -7.2
+2.5
+2.7
+2.3
+6.1
-3.7
-2.3
+0.14
-3.4
灰色微分方程的参数估计值：[a，b]=[-0.0923，945.2975]
从表1去掉数据样本no.4～6，将数据样本～3和no.7～8用于建模，no.9仍用于模型评价，从而使建模数据更接近e指数规律分布，得到的灰色模型预测结果列于表5。显然，相对于表4而言，表5的灰色模型拟合和预测精度有了明显提高，且建模数据样本更少，这正是灰色建模方法的显著特点之一。 表5 切削力fz的灰色模型预测 no. 切削力fz（n）
实测值 灰色模型预测值 相对误差b%
1
2
3
7
8
9 878
1129
1443
1756
2195
2760 878
1138
1413.3
1755.3
2179.9
2707.3 0.0
+0.79716
-2.05821
-0.03986
-0.68792
-1.90942
灰色微分方程的参数估计值：[a，b]=[-0.2167，828.9403]
灰色模型预测法适合“少样本、贫信息”建模，且可获得较高的模型拟合和预测精度，但其先决条件是建模数据样本必须较好服从e指数分布规律。为进一步验证其建模特点，表6列出了另一计算实例，即采用灰色模型预测外圆磨削加工中的法向磨削力fn。其中，数据样本～5用于建模，数据样本no.6用于模型评价，法向磨削力fn的实测值引自参考文献。从表6可知，只要建模数据样本较好服从e指数分布规律，则灰色模型预测法的拟合和预测精度优于zui小二乘回归法。 表6 外圆磨削加工中法向磨削力fn的灰色模型预测 no. 切削力fz（n）
实测值 灰色模型预测值 相对误差b% zui小二乘估计值 相对误差b%
1
2
3
4
5
6 7.84
8.10
8.38
8.75
9.32
9.93 7.84
8.04
8.42
8.83
9.25
9.69 0
-0.77
+0.52
+0.89
-0.72
-2.3 7.69
8.24
8.58
8.83
9.09
9.19 -1.865
+1.76
+2.406
+0.92
-3.13
-7.415
灰色微分方程的参数估计值：[a，b]=[-0.04695，7.48196]
5 结论 对于切削力的预测，zui小二乘回归法和人工神经网络法均是有效的建模方法。这两种建模方法均要求提供尽可能多的数据样本，以保证较高的拟合精度和适用范围。神经网络法的建模拟合精度优于zui小二乘回归法；但在建模数据以外的数据预测方面，zui小二乘回归法则更具优势。 在建模数据样本较好服从e指数分布规律的前提下，灰色模型预测法的拟合和预测精度优于zui小二乘回归法，且可在“少样本、贫信息”的数据条件下实现建模。如数据样本不服从e指数分布规律，则选用zui小二乘回归法建模效果更好。
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